Лента событий:
TALMON
добавил решение задачи
"Разноцветные шары"
(Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
6
всего попыток:
8
Рассмотрим игру для двух участников. Игровое поле представляет собой полоску из n клеток белого цвета. Ходы совершают по очереди. Каждым ходом игрок должен закрасить любые две соседние белые клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Таким образом, первые три значения n, при которых первый игрок выигрывает – это 2,3 и 4, а первые два проигрышных значения – это 1 и 5. Третье проигрышное значение n=9, десятое: n=43. Найдите миллионное значение n, при котором второй игрок всегда может победить.
Задачу решили:
4
всего попыток:
13
Две лестницы длиной x и y опираются на противоположные стены коридора шириной w, как показано на рисунке. Пусть h – высота, на которой лестницы пересекаются. Нас интересуют случаи, когда все четыре числа – x,y,w и h – оказываются целыми. Например, для x = 70 и y = 119 можно найти пару подходящих целых чисел h = 30 и w = 56. При 0<x<y<200 есть ровно пять пар (x,y), для которых существуют целые h и w, а именно: (70, 119), (74, 182), (87, 105), (100, 116) и (119, 175). А сколько существует пар (x,y) при 0<x<y<1 000 000, для которых можно подобрать целые значения w и h?
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник с целыми сторонами, и 1 ≤ AB < BC < CD < AD. Точка O – середина диагонали BD. Будем называть четырехугольник ABCD биклинным, если длины отрезков BO, DO, AO и CO – целые числа, и AO = CO < BO = DO. Например, когда AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23, четырехугольник ABCD является биклинным. Обозначим через B(N) количество различных биклинных четырехугольников ABCD с целыми сторонами, у которых |AB|2+|BC|2+|CD|2+|AD|2 ≤ N.. Можно проверить, что B(10 000) = 48 и B(1 000 000) = 38108. Найдите B(10 000 000 000).
Задачу решили:
3
всего попыток:
7
Когда стали раздавать бесплатные участки на Луне, были установлены следующие правила. Каждому государству выделяется квадратная площадка размером 500 х 500 м. Площадка расчерчена на клетки размером 1 х 1 м, в углах которых установлено 251001 столбов. Забор должен состоять из прямолинейных отрезков, соединяющих столбы. Однако нужно учитывать, что строительство заборов в лунных условиях недешево. Конечно, богатые государства построили себе ограды длиной 2000 м, которые ограничивали площадь 250 000 м2. Но финансы княжества Фенвик расстроены, и правительство поручило вам, Главному Программисту, найти оптимальную форму забора, обеспечивающую максимальное отношение площади огороженного участка к длине забора. Прежде, чем писать программу, вы сделали предварительные расчеты. Для квадратного забора длиной 2000 м площадь участка получается равной 250 000 м2, а отношение площади к длине ограды равно 125. Если бы разрешалось строить криволинейные заборы, то для круглого участка диаметром 500 м площадь будет равна π*2502 м2, длина ограды - π*500 м, и отношение будет равно тому же числу 125. Если же отрезать от четырех углов площадки четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 75 м, как показано на рисунке зеленым цветом, можно достичь существенного выигрыша. Действительно, площадь участка станет равной 238750 м2, длина забора будет равна 1400+300√2 м, а интересующее нас отношение составит примерно 130,87. При этом будет использовано 1700 столбов.
Найдите форму участка, обеспечивающую максимум отношения площади огороженного участка к длине ограды. В качестве ответа укажите количество использованных столбов.
Задачу решили:
15
всего попыток:
31
Найдите минимально возможную целочисленную длину стороны равностороннего треугольника, внутри которого существует точка, расстояния от которой до всех вершин треугольника также являются целыми числами.
Задачу решили:
4
всего попыток:
21
В правильном целочисленном треугольнике АВС есть такая точка внутри, что целочисленные расстояния a, b, c до его вершин образуют арифметическую прогрессию и НОД(a,b,c) =1. Найти сторону двадцать первого по величине такого треугольника.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|