Рассмотрим число G(n) = (n2)!/(n!)n, где n – натуральное. Несложно показать, что G(n) – тоже натуральное число. Например, G(3)=1680. Разложим 1680 на простые множители, а затем их сложим:
1680=24×3×5×7=2×2×2×2×3×5×7, и 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 +7 = 23. Таким образом, сумма простых множителей числа G(3) равна 23.
На складах 'A' и 'B' хранятся деликатесы в следующих количествах:
Наименование товара
Склад 'A', кол-во упаковок
Склад 'B', кол-во упаковок
Белужья икра
5248
640
Рождественский кекс
1312
1888
Окорок
2624
3776
Марочный портвейн
5760
3776
Шампанские трюфели
3936
5664
Обратите внимание на то, что количество каждого продукта измеряется упаковками, т.е. целым числом.
<page-break/>
Хотя хозяин всячески старается хранить деликатесы наилучшим образом, они иногда все-таки портятся. Однажды хозяин решил проанализировать сохранность продуктов, используя два вида показателей: • Доля испорченных для каждого из пяти видов продуктов и для каждого склада, которая рассчитывалась как отношение количества испорченного продукта на данном складе к количеству данного продукта на данном складе. • Общая доля испорченных продуктов для каждого склада, которая рассчитывалось как общее количество испорченных продуктов на складе к общему количеству всех продуктов на данном складе. Выяснилось, что на складе 'B' доля испорченных продуктов каждого вида больше, чем на складе 'A'. При этом оказалось, что доля испорченных для каждого из пяти продуктов на складе B отличалась от доли испорченных для того же продукта на складе A одним и тем же множителем m>1, т.е. отношение долей испорченных продуктов для каждого из продуктов было одинаково. Но самым удивительным было то, что общая доля испорченных продуктов на складе 'A' была больше, чем на складе 'B', и их отношение также было в точности равно m. Оказывается, что эта странная ситуация не уникальна. Она может возникать при 35 различных значениях m>1, и при этом наименьшее общее количество испорченных продуктов на обоих складах вместе равно 215. Найдите наибольшее количество упаковок, которое могло испортиться на обоих складах вместе в подобной удивительной ситуации.
Рассмотрим замкнутые ломаные, каждая из которых • проходит через центры всех клеток шахматной доски 4×n, • состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, • не имеет самопересечений. На рисунке изображена одна такая ломаная на доске 4×10:
Обозначим через T(n) количество таких ломаных для доски 4×n. Можно показать, что T(10) = 1517. Найдите остаток T (1012) по модулю 108.
Построим последовательность случайных чисел sn при помощи генератора Блюм-Блюма-Шуба: s0=14025256 sn+1=sn2 mod 20300713, и запишем полученные числа s0 s1 s2… подряд в одну бесконечную строку w: w=14025256741014958470038053646…
Для натурального числа k выберем все подстроки строки w, для которых сумма цифр равна k и обозначим через p(k) положение самой левой цифры в этих подстроках. Если не найдется ни одной подстроки с суммой цифр, равной k, будем считать, что p(k)=0.
Например, Сумму цифр k=7 имеют подстроки 1402, 025, 25, 52, 25, 7 …, начинающиеся, соответственно, с 1, 3, 4, 5, 6, 9 … позиции. Поэтому p(7)=1. Сумму цифр k=11 имеют подстроки 4025, 56, 74, 47, 470, 4700, 0038 …, начинающиеся, соответственно, со 2, 7, 9, 18, 18, 18, 20 … позиции. Поэтому p(11)=2. Сумму цифр k=20 имеют подстроки 025256, 25256, 2567, 101495 …, начинающиеся, соответственно, со 3, 4, 6, 11 … позиции. Поэтому p(20)=3.
Можно показать, что среди значений p(k) для 0<k≤103 найдется 614 нечетных и 386 четных. А сколько нечетных значений p(k) найдется для 0<k≤2•1015?
В зале театра 40 нумерованных мест, а продано всего 18 билетов. Сколькими способами можно рассадить зрителей так, чтобы ровно 8 из них сидели на своих местах?
Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12. Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2. Найдите сумму таких натуральных n < 1018, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.
Рассмотрим множество, состоящее из первых n натуральных чисел: {1,2,...,n}. Обозначим через f(n,k) количество его k-элементных подмножеств, сумма элементов которых нечетна. Например, f(5,3) =4, поскольку множество {1,2,3,4,5} имеет четыре 3-элементных подмножества с нечетной суммой элементов: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} и {2,4,5}. Когда все три числа n, k и f(n,k) нечетны, будем говорить, что они образуют нечетный триплет, и обозначим через g(m) количество нечетных триплетов [n,k,f(n,k)] с n ≤ m. Тогда g(10)=5, поскольку существует ровно 5 нечетных триплетов с n ≤ 10, а именно: [1,1,f(1,1)=1], [5,1,f(5,1)=3], [5,5,f(5,5)=1], [9,1,f(9,1)=5] и[9,9,f(9,9)=1] Найдите наименьшее m, при котором g(m) > 1018.
Существует несколько определений эллипса. Вот одно из них: Эллипсом называется множество точек, равноудаленных от некоторой окружности и некоторой точки, лежащей внутри указанной окружности. Рисунок ниже поясняет это определение:
<page-break/> Пусть задана окружность c с центром M(-2000,1500) и радиусом 15000, а также точка G(8000,1500). Множество точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e, как показано на следующем рисунке.
Рассмотрим теперь точку P с целочисленными координатами, лежащую во внешней области эллипса e, и проведем из нее прямые PS и PR, касающиеся эллипса e в точках S и R. Подсчитайте, сколько существует на плоскости точек P с целочисленными координатами, для которых угол RPS между касательными к эллипсу не менее 30 градусов?
Будем называть натуральное число k опорным, если существует такая пара натуральных чисел m≥0 и n≥k, для которых (k-m)2 + ... + k2 = (n+1)2 + ... + (n+m)2, то есть сумма m+1 последовательных квадратов вплоть до k2 включительно равна сумме m последовательных квадратов, начинающихся с (n+1)2, например: 4: 32 + 42 = 52 21: 202 + 212 = 292 24: 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272 110: 1082 + 1092 + 1102 = 1332 + 1342 Найдите сумму всех различных опорных чисел в промежутке 109≤k≤1010.
A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7) A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7) A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7) Сумма их площадей равна 445. Найдите все треугольники, обладающие указанными свойствами, периметр которых не превышает 105. Легко показать, что сумма их площадей является целым числом. Она и будет ответом к этой задаче.