Рассмотрим делители четырех последовательных натуральных чисел 242, 243, 244 и 245:

Число    Делители
242    1, 2, 11, 22, 121, 242
243    1, 3, 9, 27, 81, 243
244    1, 2, 4, 61, 122, 244
245    1, 5, 7, 35, 49, 245

Обратите внимание, что все эти числа имеют одинаковое количество делителей, а именно шесть.
Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 10⁷, для которых числа n, n+1, n+2 и n+3 имеют одинаковое количество делителей.

Четыре предмета, один из которых белый (Б), а три остальных – черные (Ч), можно сгруппировать семью способами:

(ЧЧЧБ) (Ч,ЧЧБ) (Ч,Ч,ЧБ) (Ч,Ч,Ч,Б) (Ч,ЧЧ,Б) (ЧЧЧ,Б) (ЧЧ,ЧБ)

Обозначим через f(b,w) количество способов, которыми можно сгруппировать множество из b черных и w белых предметов. Так, f(3,1)=7.

Найдите ∑f(60,p), где сумма берется для всех простых p, не превышающих 50.

Сообщение в системе шифрования RSA представляет собой некоторое число m. Если необходимо зашифровать текст, сначала его каким-то известным образом превращают в число, а затем происходит собственно шифрование.

Шифрование осуществляется следующим образом:

• Выбирают два различных простых числа p и q.
• Вычисляют n=pq и φ=(p-1)(q-1). Число n должно быть достаточно велико, чтобы сообщения m попадали в интервал [0,n-1].
• Выбирают целое число e, 1<e<φ, не имеющее общих делителей с φ (gcd(e,φ)=1).
• Из числа m получают зашифрованное сообщение c=m^e mod n (здесь a mod b означает остаток от деления a на b).

Чтобы расшифровать текст, действуют следующим образом:

• Находят число d такое, что ed=1 mod φ
• Для зашифрованного сообщения c, вычисляют m=c^d mod n.

Однако иногда попадаются такие неудачные сочетания e и m, что m^e mod n=m. Будем называть такие сообщения нескрытыми. Необходимо выбирать e таким образом, чтобы нескрытых сообщений было меньше. Например, пусть p=19 и q=37.
Тогда n=19*37=703, и φ=18*36=648.
Если мы выберем e=181, абсолютно все сообщения m (0≤m≤n-1) окажутся нескрытыми, хотя условие gcd(181,648)=1 выполняется. Такой выбор крайне неудачен.
К сожалению, для любого e, выбранного согласно указанным правилам, всегда найдется сколько-то нескрытых сообщений.
Возьмем p=1009 и q=3643. Найдите количество таких e, 1<e<φ(1009,3643),  gcd(e,φ)=1, для которых количество нескрытих сообщений минимально.

Возьмем натуральное число N и разделим его на k равных частей r=N/k. Тогда N = r + r + ... + r. Обозначим через P произведение этих частей: P = r × r × ... × r = r^k. Например, если разделить 11 на пять равных частей (11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2), P окажется равным 2.2⁵ = 51.53632. Обозначим через P_max(N) максимальное значение P, которое можно получить для данного значения N. Оказывается, что для N=11 максимум достигается при k=4: P_max= (11/4)⁴= 14641/256 = 57.19140625. Это число является конечной десятичной дробью. Однако для N=8 максимум достигается при разбиении на три части: P_max= 512/27, и это число не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби. Определим функцию D(N) как число десятичных знаков после запятой в P_max(N) для случая, когда P_max(N) представимо конечной десятичной дробью. В случае, когда P_max(N) не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби, будем считать, что D(N)=0. Например, D(11)=8, D(8)=0. Для 5 ≤ N ≤ 100 ΣD(N)=1027. Найдите ΣD(N) для 5 ≤ N ≤ 10000.

Пусть I_r – множество точек с целыми координатами x и y, лежащих внутри круга радиуса r, т.е. x² + y² < r².

При r=2 I₂ содержит 9 точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) и (1,-1).

Рассмотрим треугольники, вершинами которых являются точки, принадлежащие I₂. Среди них найдется ровно 8 треугольников, содержащих начало координат в своей внутренней области. Два из них показаны на рисунке, а остальные можно получить поворотами.

При r=3 существует ровно 360 треугольников с вершинами, принадлежащими I₃, содержащих начало координат в своей внутренней области, а для r=5 таких треугольников будет 10600.

Сколько найдется треугольников, все вершины которых принадлежат I₅₀₀, а начало координат лежит в их внутренней области?