Марина пришла в казино и решила сыграть в следующую игру. На 100 карточках с обеих сторон написаны (по разу) все натуральные числа от 1 до 200. Карточки выложены на стол так, что видны только числа, написанные сверху. Марина может выбрать несколько карточек и одновременно перевернуть их, а затем сложить все 100 чисел, которые окажутся после этого наверху — полученная сумма и будет её выигрышем. Какую наибольшую сумму Марина может гарантированно выиграть?

У Вас есть 200 одинаковых на вид, вес и ощупь шариков, ровно один из которых радиоактивен. Ещё имеется автомат, в который можно засунуть сколько угодно шариков, бросить 30 рублей и нажать кнопку. Если радиактивности нет, то загорается зелёная лампочка и автомат выдаёт 10 рублей сдачи. Если же обнаруживается радиоактивность, то загорается красная лампочка и никакой сдачи не выдаётся. Какой наименьшей суммой в рублях Вы должны располагать, чтобы гарантированно (т.е. при полном отсутствии везения) найти радиоактивный шарик?

Есть 4 кучи камней: в первой — 3 камня, во второй — 4, в третьей — 5, в четвёртой — 6. Играют двое, ходят по очереди. Каждым ходом разрешается либо взять один камень из любой (но только одной) кучи при условии, что после взятия в этой куче останется более одного камня, либо взять любую (но только одну) кучу целиком, при условии, что в этой куче не менее двух, но не более трёх камней. Выигрывает тот, кто возьмёт последний камень (сделает все кучи пустыми). Кто победит при правильной игре? Если первый игрок, введите 1, если второй — 2, если ничья — 0.

Два игрока записывают 2n-значное натуральное число, используя лишь цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый игрок, вторую — второй, третью — опять первый, и так далее. Задача второго игрока добиться, чтобы число, полученное по окончании игры, делилось на 9. Задача первого — помешать второму. При каких n выигрывает первый, а при каких — второй? В ответе укажите количество значений n от 1 до 10 (включительно), при которых выигрывает первый.

Имеется предмет, о котором известно, что его вес составляет целое число кг от 1 до 27. Также есть чашечные весы, на обе чашки которых можно класть гири. Определите наименьшее количество гирь, с помощью которых можно определить вес предмета.

Имеется 10 кучек монет, по 10 монет в каждой. Все монеты одинаковы на вид, но одна кучка целиком состоит из фальшивых монет, но какая именно — неизвестно. Известен лишь вес настоящей монеты, а также установлено, что каждая фальшивая монета на 0,1 грамма тяжелее, чем нужно. Монеты можно взвешивать на пружинных весах со стрелкой, измеряющие вес с точностью до 0,1 грамма. Какое минимальное число взвешиваний нужно произвести, чтобы отыскать кучку, состоящую из фальшивых монет?

На шахматной доске случайным образом расставлены 2 фигуры: король и ладья. С какой вероятностью король бьет ладью?

В шахматной композиции (задачах) есть раздел  сказочных шахмат. В этих задачах изменены или дополнены некоторые шахматные правила (фигуры, форма шахматной доски и т.п.). Рассмотрим сказочные шахматы, в которых короли могут находиться под боем (шахом), а значит возможно и взятие королей. Остальные шахматные правила оставляем в силе. Целью такой игры может быть, например, взятие всех неприятельских фигур (как в шашках). Среди всех возможных позиций,  полученных из начальной шахматной позиции играя по этим правилам, присутствуют и позиции только с двумя фигурами — белым королём и чёрным слоном, в которых белые начинают и выигрывают в один ход. Вычислите вероятность возникновения такой позиции при случайной расстановке белого короля и чёрного слона на пустую шахматную доску.

Даны чашечные весы, имеющие особенность — они могут выдержать ровно 3 взвешивания (неважно в каком порядке) неравных грузов, после чего ломаются. Одинаковые веса можно уравновешивать на этих весах бесконечное количество раз. Среди N монет есть одна фальшивая, вес которой меньше настоящих. Найдите максимальное N при котором можно найти фальшивую не более, чем за 7 взвешиваний на этих весах.

У Вас есть 10 одинаковых стеклянных шариков. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 10¹⁵-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить все 10 шариков. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.