Натуральные числа от 1 до 13 записаны в строку. Сколькими способами можно переставить их так, чтобы ни одно число не осталось на своём месте?

В машинном слове 16 бит (бит — это 0 или 1). Сколько существует слов, в которых никакие две единицы не идут подряд?

Маршрут автобуса состоит из 12 остановок (включая конечные). Автобус вмещает не более 20 пассажиров. Однажды автобус проехал весь маршрут из конца в конец, останавливаясь на всех остановках. Известно, что не было двух пассажиров, которые вошли, а потом и вышли на одной и той же остановке. Какое наибольшее число пассажиров могло быть перевезено автобусом при этих условиях?

Какое минимальное число раз нужно сломать шоколадку, изображённую на рисунке, так, чтобы каждый кусок состоял из двух маленьких плиток или одной большой? (Ломать сразу два куска нельзя!)

– Все-таки математики — любопытный народ, – сказал полицейский комиссар своей жене. –  Представь себе, на столе в отеле стояли наполненные стаканы. Только в одном из них был яд. Лаборатория могла проверить все стаканы, но проверка стоит времени и денег. Нам на помощь прислали профессора математики. Он подсчитал стаканы, взял первый из них, и мы проверили его первым. Я спросил его, не растратили ли мы одну проверку впустую, но он сказал, что это составляет часть оптимальной процедуры.
– Сколько было стаканов?
– Что-то между одной и двумя сотнями.
Определите точно число стаканов. (Можно проверять содержимое нескольких стаканов, смешивая жидкости из них. Для проверки достаточно всего одной капли жидкости.)

Перед Вами 25 окопов в ряд. В каком-то из них сидит снайпер. У Вас в руках гранатомёт, позволяющий вдребезги разнести всё содержимое любого из окопов (сам окоп при этом остаётся цел). Сразу после того, как Вы делаете выстрел, снайпер по не известной Вам логике перебегает в соседний окоп (если Вы промазали). Остаться в том же окопе, равно как и перебежать дальше, чем в соседний окоп, он не может. Следующий выстрел. Перебежка. Выстрел. Перебежка. И так далее. Проблема в том, что ни снайпера, ни его перебежек Вы не видите.

Какое минимальное число выстрелов Вам понадобится, чтобы гарантированно ликвидировать снайпера?

Через одну и ту же точку провели 2009 окружностей. На какое наибольшее число частей они могут разбить плоскость?

В парке оборудовано n остановок для детских паровозиков. У каждого паровозика свой маршрут, состоящий из нескольких (необязательно всех) остановок. От каждой остановки до любой другой можно доехать без пересадки, но только на одном паровозике. С каждого паровозика можно пересесть на любой другой, доехав до нужной остановки. Имеется паровозик, чей маршрут состоит ровно из трёх остановок. Найдите максимально возможное значение n.

У Вас есть три одинаковых пластмассовых шарика, и Вы хотите выяснить, после броска с какого этажа 119-этажного небоскрёба на них начинают появляться трещины. (Например, если сбросить с 20-го, то трещины появляются, а на 19-м ещё нет.) Чтобы определить, появились ли трещины, нужно выйти на улицу и осмотреть шарик. Прежде чем выйти на улицу, Вы можете сбросить с разных этажей все имеющиеся в наличии нетреснувшие шарики. Разрешается выйти на улицу не более, чем n раз. При каком минимальном значении n ещё возможно гарантированно определить, после броска с какого именно этажа шарики начинают покрываются трещинами. Учтите, что шарик может покрыться трещинами и при падении с первого этажа, а может остаться целым и при падении с последнего.

На шахматной доске стоят 64 ладьи (на каждой клетке по ладье). Саша снимает их с доски по очереди, следуя правилу: можно снять любую ладью, которая бьёт нечётное число других оставшихся на доске ладей. Какое максимальное количество ладей удастся снять Саше? (Как обычно, ладьи бьют друг друга и по вертикали, и по горизонтали, но только если между ними нет других ладей.)