img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 39
всего попыток: 114
Задача опубликована: 19.12.10 08:00
Прислал: TALMON img
Источник: Euler Project
Вес: 1
сложность: 3 img
баллы: 100
Лучшее решение: volinad (Владимир Алексеевич Данилов)

Для натурального числа n обозначим C(n) количество натуральных чисел x меньших n, для которых x2+x+1 делится на n. Чему равно C(p), если p — простое? В ответе напишите без пробелов значения C(k·2k−1) при k=115, 123, 249, 362 и 384. Учтите, что числа k·2k−1 являются простыми при всех указанных значениях k.

Задачу решили: 55
всего попыток: 65
Задача опубликована: 14.02.14 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: snape

Любое простое число вида p=4k+1 можно единственным способом представить в виде:

p = a² + b²,

где a<b - целые положительные числа. Например:

165100009 = 5520² + 11603².

Квадраты таких простых чисел также можно представить единственным способом в виде:

p² = x² + y²,

где x<y - целые положительные числа.

Найдите два целых положительных числа x<y, для которых выполняется:

165100009² = x² + y².

В качестве ответа введите оба числа подряд без пробелов: x (меньший), и сразу за ним y (больший).

Задачу решили: 19
всего попыток: 41
Задача опубликована: 29.07.15 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: Sam777e

Рассмотрим число n=1096375199328173. Рассмотрим все натуральные числа от 1 до n-1 включительно. Рассмотрим остатки от деления квадратов этих чисел на n. Сколько всего получится различных остатков?

Задачу решили: 28
всего попыток: 57
Задача опубликована: 03.08.15 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: Sam777e

Рассмотрим число n=106. Найдите сумму:
S = Σ(-1)m+1•[n / (p1•p2•...•pm)], 
где (p1•p2•...•pm) – всевозможные произведения различных простых чисел, m=1, 2, 3, ..., [x] – целая часть x.

Задачу решили: 37
всего попыток: 101
Задача опубликована: 09.11.15 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 2
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Sam777e

Функция Эйлера φ(n) определена для каждого натурального числа n как количество натуральных чисел, непревосходящих n, взаимно простых с n.

Найдите сумму всех натуральных чисел n, для которых φ(n)=128.

Задачу решили: 28
всего попыток: 53
Задача опубликована: 20.01.20 08:00
Прислал: TALMON img
Источник: Journal of Recreational Mathematics
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: DOMASH (Александр Домашенко-Мирный)

Назовём натуральное число интересным, если его запись в десятичной системе счисления состоит из чётного количества цифр и его «левая половина» равна его «правой половине». Например, 2020 - это интересное число. Найдите наименьшее интересное число, являющееся квадратом целого числа.

Задачу решили: 19
всего попыток: 44
Задача опубликована: 31.07.20 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: Sam777e

Расмотрим простое число p=1000000007=109+7 и все целые числа n, которые не делятся на p. Какие значения, не превосходящие 14, может принимать остаток от деления n2 на p?

Введите ответ в виде строки из 14-и НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ, где на k-м месте (слева) стоит ЕДИНИЦА, если остаток от деления n2 на p может принимать значение k, а в противном случае - НОЛЬ.

Задачу решили: 9
всего попыток: 16
Задача опубликована: 28.07.23 08:00
Прислал: TALMON img
Источник: По мотивам предыдущих задач о стаканах. Соавт...
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: user033 (Олег Сopoкин)

Первые сто простых чисел написаны мелом на ста досках (по одному числу на каждой доске).

Разрешена такая операция: если на каких-то двух досках написаны числа a и b, ab, то можно их заменить на числа 2a и b-a.

Какое максимальное количество чисел на досках можно обнулить посредством таких операций?

Задачу решили: 24
всего попыток: 35
Задача опубликована: 15.09.23 08:00
Прислал: TALMON img
Источник: Ибн Альберт
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: aaa_uz

Наибольший собственный делитель натурального числа n больше на 2, чем квадрат наименьшего составного делителя n. Найдите сумму всех таких натуральных n.

Задачу решили: 14
всего попыток: 18
Задача опубликована: 08.05.24 08:00
Прислал: TALMON img
Источник: Ибн Альберт
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Sam777e

Назовём натуральное число остроумным, если оно начинается с цифры 5, оканчивается цифрой 1, а все остальные его цифры равны 6.

Найдите количество натуральных чисел n, взаимно простых с 10 и не превосходящих 1016, для которых найдётся остроумное число, кратное n.

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.