img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
отражение
Лента событий: solomon предложил задачу "Палиндромное время" (Математика):

Турнир: Турнир Эйлера III   

 
Дата проведения: 25.12.10
время с 00:00 до 23:59 (Москва)
статус: завершен
уровень сложности: 3

Организаторы: ИНТУИТ.РУ >>

В турнире будут представлены задачи из списка "Проект "Эйлера".

За правильное решение каждой задачи начисляется определённое количество баллов.

Важно. Проверка задач будет осуществляться после окончания турнира.

Победителем и призерами становятся те участники, кто набрал наибольшее количество баллов. Участники, набравшие одинаковое количество баллов, делят соответствующие места. Количество участников занявших одинаковые места - неограничено.

Внимание! Участие в турнире бесплатное. В нем могут принимать участие все желающие школьники, студенты и взрослые. Победителям и призёрам отправляются призы по почте.

Участие в турнире повышает рейтинг участника.

Победителям и участникам будут вручены дипломы.

Результаты турнира (обновлены 26.12.10 00:06)

№. Ник Страна Регион Результат Место
1. MarS Российская Федерация Московская область 500 (из 500) 1-2
2. emm76 Молдова ---- 500 (из 500) 1-2
3. Dr_Korbin Российская Федерация Московская область 495 (из 500) 3
4. Ch0W Российская Федерация Москва 380 (из 500) 4
5. TALMON Израиль ---- 280 (из 500) 5
6. casper Российская Федерация Краснодарский край 200 (из 500) 6
7. zmerch Украина ---- 100 (из 500) 7-16
8. YnbIpb Англия ---- 100 (из 500) 7-16
9. tv0r0g Российская Федерация Москва 100 (из 500) 7-16
10. morph Российская Федерация Москва 100 (из 500) 7-16
все результаты >>

Задачи

ЗАДАЧА 1. Ступенчатые числа
  
24.12.10 12:49
вес: 1
сложность: 1
класс: 8-10
баллы: 100
  
попыток: 0
решили: 5

Рассмотрим число 44456656. Заметим, что соседние десятичные цифры в его десятичной записи отличаются не более чем на единицу. Будем называть такие натуральные числа ступенчатыми.
Найдите, сколько существует ступенчатых чисел, не превышающих 1040 и содержащих в своей десятичной записи все цифры от 0 до 9.

ЗАДАЧА 2. Одинаковое количество делителей
  
24.12.10 12:49
вес: 1
сложность: 2
класс: 8-10
баллы: 100
  
попыток: 0
решили: 18

Рассмотрим делители четырех последовательных натуральных чисел 242, 243, 244 и 245:

Число    Делители
242    1, 2, 11, 22, 121, 242
243    1, 3, 9, 27, 81, 243
244    1, 2, 4, 61, 122, 244
245    1, 5, 7, 35, 49, 245

Обратите внимание, что все эти числа имеют одинаковое количество делителей, а именно шесть.
Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 107, для которых числа n, n+1, n+2 и n+3 имеют одинаковое количество делителей.

ЗАДАЧА 3. Золотые тройки
  
24.12.10 12:49
вес: 1
сложность: 1
класс: 8-10
баллы: 100
  
попыток: 0
решили: 5

Рассмотрим три семейства функций:

f1,n(x,y,z) = xn+1 + yn+1 – zn+1

f2,n(x,y,z) = (x y + y z + z x)*(xn-1 + yn-1 – zn-1)

f3,n (x,y,z) = – x y z * (xn-2 + yn-2 – zn-2)

и их сумму:

fn (x,y,z) = f1,n (x,y,z) + f2,n (x,y,z) + f3,n (x,y,z)

Будем называть (x,y,z) золотой тройкой порядка k, если x, y и z – положительные рациональные числа, представимые в виде правильных дробей со знаменателем, не превышающим k, и существует такое n, что fn (x,y,z) = 0

Обозначим через s(x,y,z) = x + y + z.

Найдите сумму всех различных значений s для золотых троек порядка 50. Результат округлите до ближайшего целого. 

ЗАДАЧА 4. Черно-белые множества
  
24.12.10 12:49
вес: 1
сложность: 1
класс: 8-10
баллы: 100
  
попыток: 0
решили: 3

Четыре предмета, один из которых белый (Б), а три остальных – черные (Ч), можно сгруппировать семью способами:

(ЧЧЧБ) ,ЧЧБ) ,Ч,ЧБ) ,Ч,Ч,Б) ,ЧЧ,Б) (ЧЧЧ,Б) (ЧЧ,ЧБ)

Обозначим через f(b,w) количество способов, которыми можно сгруппировать множество из b черных и w белых предметов. Так, f(3,1)=7.

Найдите f(60,p), где сумма берется для всех простых p, не превышающих 50.

ЗАДАЧА 5. Шифрование RSA
  
24.12.10 12:49
вес: 1
сложность: 3
класс: 8-10
баллы: 100
  
попыток: 0
решили: 5

Сообщение в системе шифрования RSA представляет собой некоторое число m. Если необходимо зашифровать текст, сначала его каким-то известным образом превращают в число, а затем происходит собственно шифрование.

Шифрование осуществляется следующим образом:

  • Выбирают два различных простых числа p и q.
  • Вычисляют n=pq и φ=(p-1)(q-1). Число n должно быть достаточно велико, чтобы сообщения m попадали в интервал [0,n-1].
  • Выбирают целое число e, 1<e<φ, не имеющее общих делителей с φ (gcd(e,φ)=1).
  • Из числа m получают зашифрованное сообщение c=me mod n (здесь a mod b означает остаток от деления a на b).

Чтобы расшифровать текст, действуют следующим образом:

  • Находят число d такое, что ed=1 mod φ
  • Для зашифрованного сообщения c, вычисляют m=cd mod n.

Однако иногда попадаются такие неудачные сочетания e и m, что me mod n=m. Будем называть такие сообщения нескрытыми. Необходимо выбирать e таким образом, чтобы нескрытых сообщений было меньше. Например, пусть p=19 и q=37.
Тогда n=19*37=703, и φ=18*36=648.
Если мы выберем e=181, абсолютно все сообщения m (0≤m≤n-1) окажутся нескрытыми, хотя условие gcd(181,648)=1 выполняется. Такой выбор крайне неудачен.
К сожалению, для любого e, выбранного согласно указанным правилам, всегда найдется сколько-то нескрытых сообщений.
Возьмем p=1009 и q=3643. Найдите количество таких e, 1<e<φ(1009,3643) gcd(e,φ)=1, для которых количество нескрытих сообщений минимально.


Обсудить турнир (комментариев: 5 ) >> Правила >>

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.