Перед двумя игроками 4 кучки из спичек: в первой — 11, во второй — 29, в третьей — 37 и в четвёртой — 41 спичка. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из любой кучки по своему выбору — можно взять хоть всю кучку, но брать спички из разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из какой кучки должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите произведение количества взятых спичек и номера кучки.

Перед двумя игроками 5 кучек из спичек: в первой — 7, во второй — 10, в третьей — 18, в четвёртой — 19 и в пятой — 24 спички. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из одной или двух кучек по своему выбору — например, можно взять только одну спичку, а можно и все спички из двух кучек, но вообще не брать спичек или брать спички из трёх разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из каких кучек должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите общее количество взятых спичек.

Гусеница сидит внутри закрытой коробки высотой 24 см посередине её вертикального ребра. Посередине самого дальнего от гусеницы вертикального ребра в коробке есть маленькое отверстие, через которое гусеница хочет выбраться на свободу. Известно, что к отверстию ведут n различных кратчайших путей равной длины. При каких длине и ширине коробки значение n максимально и чему оно равно? В ответе укажите сумму длин в см всех n кратчайших путей гусеницы до отверстия при наибольшем значении n.

Два равных прямоугольника (один с синими сторонами, а другой — с красными) ограничивают на плоскости некоторый восьмиугольник.

Найти максимум разности между суммой длин его красных сторон и суммой длин его синих сторон при условии, что диагонали прямоугольников равны 60.

Квадрат на плоскости разбит на 25 маленьких одинаковых квадратов, через все вершины которых проходит некоторая ломаная (возможно самопересекающаяся). Каково минимальное число её звеньев?

Сумма n нечётных чисел совпадает с их произведением. Какие значения может принимать n? В ответе введите число возможных значений n, удовлетворяющих неравенству 1 ≤ n ≤ 2009.

Существуют ли 2009 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 10 простых?

Большой прямоугольник разрезан на конечное число маленьких. (Стороны всех прямоугольников вертикальны или горизонтальны.) Известно, что у каждого маленького прямоугольника длина хотя бы одной стороны — целое число. Верно ли, что тогда и у большого прямоугольника хотя бы одна сторона имеет целую длину? (Если верно — доказать, если нет — привести пример.)

На фестивале камерной музыки собрались 30 музыкантов. На каждом концерте некоторые из них выступают, а остальные слушают их из зала. Какое наименьшее число концертов нужно организовать, чтобы каждый музыкант смог послушать из зала всех остальных?

Найдите максимально возможное целое значение отношения (x+y+z)²/(xyz), где x, y и z — положительные целые числа.