Дан треугольник ABC.

Дан ещё один треугольник BCD, точки A и D находятся на той же стороне от прямой BC, и углы: CAB=DBC, ACB=BDC.

Дан ещё один треугольник CDE, точки B и E находятся на той же стороне от прямой CD, и углы: DBC=ECD, BDC=CED.

Дан ещё один треугольник DEF, точки C и F находятся на той же стороне от прямой DE, и углы: ECD=FDE, CED=DFE.

И так далее по алфавиту почти до конца: последний треугольник - WXY.

Чему равна длина отрезка AY, если |AB|=1, |BC|=3^1/2, а угол ABC=5π/6?

Известно, что радиус вписанной в треугольнике окружности равен 6, а радиус описанной около него окружности равен 65/3.
Сколько целых значений может принимать площадь этого треугольника?

Внутреннюю точку выпуклого четырёхугольника соединили с серединами всех его сторон. Четырёхугольник разделился на четыре четырёхугольника.  Два из них имеют площади 311 и 183. Какую минимальную целочисленную площадь мог иметь исходный четырёхугольник?

Фигуру, изображенную на правильной треугольной решетке, разрежьте на несколько частей и сложите из них правильный шестиугольник. В ответе укажите наименьшее число частей.

Определим f(n) для каждого натурального n как количество прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, одна из которых равна n. Найдите шестнадцатое (в порядке возрастания) натуральное число n, для которого f(n)=18.

Определим g(m) как наименьшее натуральное число, которое встречается ровно в m пифагоровых тройках. Например, g(1)=3 и g(2)=5, т.к. числа 1 и 2 не встречаются ни в одной пифагоровой тройке, каждое из чисел 3 и 4 встречается ровно в одной пифагоровой тройке, а число 5 – ровно в двух:
3² + 4² = 5²
5² + 12² = 13²

Найдите наименьшее натуральное число m, для которого g(m)>12345.

В параллелограмме АВCD на стороне ВС отмечена точка К так, что АК является биссектрисой угла А, отрезок KD является биссектрисой угла АКС.

Длина отрезка КС равна целому числу, отношение длины отрезка ВК к длине отрезка КС равно целому числу. Найдите миллиардную (по возрастанию) целочисленную площадь параллелограмма.

На плоскости дана прямая L и не параллельный ей отрезок AB, который не имеет общих точек с этой прямой. Построить на плоскости с помощью циркуля и односторонней линейки точку M, равноудаленную от точек A и B и прямой L. За одну операцию можно либо провести прямую, либо провести окружность (дугу окружности). За какое минимальное количество операций можно построить точку М?

1. В окружность с радиусом R=9000/π вписан треугогльник ABC с углами A=10°, B=20°, C=150°.

Кривая L является геометрическим местом точек, из которых треугольник ABC виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

2. В другую окружность с таким же радиусом R=9000/π вписан треугогльник DEF с углами D=10°, E=50°, F=120°.

Кривая M является геометрическим местом точек, из которых треугольник DEF виден под углом 30°. Найдите целую часть её длины.

Ведите в ответе сумму двух найденных чисел.

Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, которые раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что треугольников всех трёх цветов было по два, при этом треугольники одинакового цвета имеют один размер, а треугольники разного цвета – разного размера. Сколько решений имеет задача? Если решений бесконечно много, то введите -1 (минус 1).