На рисунке слева изображены три несимметричных пентамино, справа приведена фигура, сложенная из этих пентамино и имеющая ось симметрии.

Сколько различных фигур, имеющих ось симметрии, можно сложить из этих трех пентамино?

На рисунке изображена красная «змейка», представляющая собой бесконечную ломаную, соседние звенья которой перпендикулярны, длины её звеньев – натуральные числа 1, 2, 3, …

Докажите, что все вершины ломаной лежат на параболе. Ломаная делит внутреннюю область параболы на криволинейные треугольники, площади которых соответственно равны S₁, S₂, S₃, …

Найдите площадь S₁₀₀ сотого криволинейного треугольника и укажите ее в ответе.

Учительница написала на доске трехзначное число АНА, и каждому ученику раздала по карточке, с двумя разными цифрами n и m, все четыре натуральных числа A, H, m и n - различны. Девочек она попросила найти значения выражения Aⁿ + H^m + Aⁿ, а мальчиков попросила найти значение выражения A^m + Hⁿ + A^m. Выполнив задание, ученики удивились, потому что и у девочек, и у мальчиков получилось одно и тоже число. Какое наибольшее число АНА учительница могла написать на доске? 

Светлая память Анне Николаевне Андреевой, учителю математики  и нашей коллеге на Диофанте.ру с ником xyz, позже AnnaAndreeva.

Натуральное число  делится без остатка на 4, на 9, на 49, и имеет 45 делителей, среди которых 1 и само это число. Найдите все такие натуральные числа. В ответе укажите их сумму.