img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
отражение
Лента событий: Lec добавил решение задачи "Девятый восьмиугольник" (Математика):
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 30
всего попыток: 406
Задача опубликована: 24.10.12 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: Angelina

Дан треугольник ABC.

Дан ещё один треугольник BCD, точки A и D находятся на той же стороне от прямой BC, и углы: CAB=DBC, ACB=BDC.

Дан ещё один треугольник CDE, точки B и E находятся на той же стороне от прямой CD, и углы: DBC=ECD, BDC=CED.

Дан ещё один треугольник DEF, точки C и F находятся на той же стороне от прямой DE, и углы: ECD=FDE, CED=DFE.

И так далее по алфавиту почти до конца: последний треугольник - WXY.

Чему равна длина отрезка AY, если |AB|=1, |BC|=31/2, а угол ABC=5π/6?

Задачу решили: 4
всего попыток: 5
Задача опубликована: 08.02.21 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Лучшее решение: bbny

На рисунке изображён пример полиомино - фигуры, состоящей из какого-то количества смежных клеток размером 1x1 на листе тетрадки в клеточку:

Квадрат на тетрадке в клеточку – 2

На том же рисунке также изображён квадрат размером 8x8, в котором данное полиомино помещается целиком.

В этом примере полиомино занимает на листе тетрадки 9 строк и 9 столбцов, а стороны большого квадрата наклонены к сторонам клеточек под углами с тангенсами -3/5 и 5/3. На рисунке также выделены вершины полиомино, лежащие на сторонах большого квадрата.

Нас интересует количество различных (не конгруэнтных) полиомино, обладающих следующими двумя свойствами:
1. Для полиомино существует квадрат 8x8, в котором оно помещается целиком.
2. Полиомино является «максимальным»: Если к нему добавить хотя бы одну клетку, то уже не существует квадрат 8x8, в котором оно будет помещаться целиком.

Разобъём все полиомино, обладающие двумя указанными свойствами, по количествам строк и столбцов, которые они занимают на листе тетрадки. Обозначим:
n1 – Количество полиомино, занимающих 8 строк и 8 столбцов;
n2 – Количество полиомино, занимающих 8 строк и 9 столбцов (или наоборот);
n3 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 9 столбцов;
n4 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 10 столбцов (или наоборот);
n5 - Количество полиомино, занимающих 10 строк и 10 столбцов.

В ответ введите эти 5 чисел подряд, без пробелов, слева направо: n1n2n3n4n5

Задачу решили: 9
всего попыток: 19
Задача опубликована: 09.05.22 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: andervish (Андрей Вишневый)

«Докажем», что любое число ε>0 оно не меньше 1. Естественно, это «доказательство» содержит ошибку. Найдите в каком утверждении ошибка.

Пусть ε - любое положительное число.

1. Как известно, множество рациональных чисел в отрезке [0, 1] счётно и всюду плотно.

2. Пронумеруем его элементы: r1, r2, r3, ...

3. Построим вокруг них окрестности: mn = (rn – ε/2n+1, rn + ε/2n+1), n=1, 2, 3, ...

4. Рассмотрим множество U – объединение всех этих окрестностей. Его мера m(U) меньше или равна сумме мер составляющих: Σm(mn) = ε.

5. Множество U, как объединение открытых множеств, также является открытым множеством.

6. Как открытое множество на числовой прямой, множество U может быть представимо как объединение конечного или счётного множества взаимно непересекающихся интервалов u1, u2, u3, ...

7. Рассмотрим какие-нибудь два соседних из этих интервалов (т.е. любой один из них + ближайший к нему с той или другой стороны). Они либо лежат вплотную друг к другу, т.е. имеют общий конец, либо между ними есть зазор.

8. Если между ними есть зазор, это означает, что первоначально не были охвачены все рациональные числа. Следовательно, остаётся только вариант общего конца.

9. Таким образом, множество U покрывает весь отрезок [0, 1] кроме не больше чем счётное множество общих концов, имеющее меру 0.

10. Следовательно, мера множества U не меньше 1, и ε ≥ 1.

Задачу решили: 4
всего попыток: 47
Задача опубликована: 12.09.22 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100

На рисунке изображён пример полиомино - фигуры, состоящей из какого-то количества смежных клеток размером 1x1 на листе тетрадки в клеточку:

Полиомино в квадрате 9x9

На том же рисунке также изображён квадрат размером 9x9, в котором данное полиомино помещается целиком.

В этом примере полиомино занимает на листе тетрадки 10 строк и 11 столбцов, а стороны большого квадрата наклонены к сторонам клеточек под углами с тангенсами 2 и -1/2. На рисунке также выделены вершины полиомино, лежащие на сторонах большого квадрата.

Нас интересует количество различных (не конгруэнтных) полиомино, обладающих следующими двумя свойствами:

  1. Для полиомино существует квадрат 9x9, в котором оно помещается целиком.
  2. Полиомино является «максимальным»: Если к нему добавить хотя бы одну клетку, то уже не существует квадрат 9x9, в котором оно будет помещаться целиком.

Разобъём все полиомино, обладающие двумя указанными свойствами, по количествам строк и столбцов, которые они занимают на листе тетрадки. Обозначим:
n1 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 9 столбцов;
n2 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 10 столбцов (или наоборот);
n3 – Количество полиомино, занимающих 10 строк и 10 столбцов;
n4 – Количество полиомино, занимающих 10 строк и 11 столбцов (или наоборот);
n5 - Количество полиомино, занимающих 11 строк и 11 столбцов.

В ответ введите эти 5 чисел подряд, без пробелов, слева направо: n1n2n3n4n5

Задачу решили: 8
всего попыток: 13
Задача опубликована: 20.03.23 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: user033 (Олег Сopoкин)

Определим f(n) для каждого натурального n как количество прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, одна из которых равна n. Найдите шестнадцатое (в порядке возрастания) натуральное число n, для которого f(n)=18.

Задачу решили: 9
всего попыток: 10
Задача опубликована: 22.03.23 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100

Определим f(n) для каждого натурального n как количество прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, одна из которых равна n. Найдите семидесятое (в порядке возрастания) натуральное число n, для которого f(n)=14.

Задачу решили: 7
всего попыток: 15
Задача опубликована: 05.04.23 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100

Определим g(m) как наименьшее натуральное число, которое встречается ровно в m пифагоровых тройках. Например, g(1)=3 и g(2)=5, т.к. числа 1 и 2 не встречаются ни в одной пифагоровой тройке, каждое из чисел 3 и 4 встречается ровно в одной пифагоровой тройке, а число 5 – ровно в двух:
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132

Найдите наименьшее натуральное число m, для которого g(m)>12345.

Задачу решили: 9
всего попыток: 16
Задача опубликована: 28.07.23 08:00
Прислал: TALMON img
Источник: По мотивам предыдущих задач о стаканах. Соавт...
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: user033 (Олег Сopoкин)

Первые сто простых чисел написаны мелом на ста досках (по одному числу на каждой доске).

Разрешена такая операция: если на каких-то двух досках написаны числа a и b, ab, то можно их заменить на числа 2a и b-a.

Какое максимальное количество чисел на досках можно обнулить посредством таких операций?

Задачу решили: 6
всего попыток: 13
Задача опубликована: 11.10.23 08:00
Прислал: TALMON img
Источник: Идея МММ
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Lec

Найдите количество частей, на которые разбивается пятимерное вещественное пространство гиперплоскостями

x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=0,
x1=1, x2=1, x3=1, x4=1, x5=1,
x1+x2+x3+x4+x5=1,
x1+x2+x3+x4+x5=2.

Задачу решили: 9
всего попыток: 22
Задача опубликована: 01.03.24 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100
Лучшее решение: user033 (Олег Сopoкин)

На гранях кубика написаны все буквы слова "ХОРОШО" - по одной букве на грань. Буква О написана 3 раза, но мы не различаем эти буквы - у нас просто есть 4 различных символа Х, О, Р, Ш. Сколько раз в среднем надо бросить кубик, чтобы в последних 4-х бросках впервые выпали 4 разных символа?

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.