Сколькими способами можно расставить 38 попугаев в шеренгу так, чтобы каждый попугай стоял либо на своём месте, либо на соседнем (например, десятый попугай может стоять либо на десятом, либо на девятом, либо на одиннадцатом месте)?

В компании N друзей. На протяжении нескольких дней, ежедневно, какие-нибудь трое из них ужинали вместе. Притом за это время каждые двое (из N) поужинали вместе ровно по одному разу. Какие остатки может давать N при делении на 6? В ответе введите без пробелов все возможные остатки в порядке возрастания.

Сколько процентов составляет вероятность того, что среди 5 (случайно выбранных) точек на сфере найдутся 4, лежащие на одной замкнутой полусфере? (Замкнутая полусфера — это полусфера, включающая собственную границу.)

Каждую клетку прямоугольника 6×8 раскрасили в один из 12 различных цветов. Пара цветов называется плохой, если найдутся две клетки, имеющие общую сторону и закрашенные этими цветами. Найдите наименьшее число плохих пар.

Сколькими способами можно  записать все различные целые числа от 1 до n в одну строку так, чтобы выполнялось следующее условие: где-то после любого числа k, написанного не на последнем месте, должно встретиться хотя бы одно из чисел k−1 и k+1?

В трёхмерный космический бой играют в параллелепипеде 5×6×7, состоящем из 210 кубических ячеек. Сколько ячеек пересекает большая диагональ параллелепипеда?

В оранжерее на космической станции в виде прямоугольника 7¹³×13⁷ расставлены горшки с цветами. На каждом цветке сидит по одной бабочке. Трижды хлопала дверь, и всякий раз каждая из 7¹³×13⁷ бабочек перелетала по диагонали на соседний цветок. После каждого хлопка на некоторых цветах оказывалось по несколько бабочек, а на некоторых — ни одной, и при этом каждая бабочка, в очередной раз перелетая, не возвращалась на свой прежний цветок. Найдите наименьшее возможное число цветов, на которых не сидит ни одной бабочки после трёх хлопков.

За круглым столом заседают N рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней: тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания? (Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 9 × 9. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 100 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

На клетчатой бумаге отмечены точки A и B. Примем длину стороны клетки за 1. Посчитайте количество маршрутов идущих из A в B по сторонам клеток и имеющих длину 11. (Маршрут может менять направление только в углах клеток. Допускаются маршруты, проходящие несколько раз через одну вершину (включая A и B) или сторону клетки.)