<p>Пусть a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>2019</sub> неотрицательные действительные числа, сумма которых равна 1. Найдите максимальное значение суммы всех произведений a<sub>i</sub>a<sub>j</sub> для всех различных i и j, таких что i|j (i - делитель j).</p>
Katerina13 стала кандидатом в разделе "Математика":
<p>В прямоугольном треугольнике АВС (угол С-прямой) проведены медиана АА1 и высота СС1. Точка пересечения их - M. Найти угол А в градусах, если |МС1|:|МС|=3:4.</p>
<p>Два различные целых числа назовем зеркальными, если одно превращается в другое, если записать его цифры в обратном порядке, например, 123 и 321 - зеркальные числа. Сколько пар зеркальных чисел, которые оба находятся между 500 и 700 (числа из примера составляют одну <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 3679, 'ebody1367936797')">...ещё...</a></p>
<p>Прямоугольный треугольник с катетами 21 и 28 разделен биссекрисой прямого угла на два треугольника. Найти расстояние между точками пересечения высот этих треугольников.</p>
<p>Андрей, Боря и Коля участвовали в забеге. Когда Андрей финишировал, Боря отставал на 15 метров, а Коля на 35. После финиша Бори, Коле оставалось добежать 22 метра. Мальчики бежали всю дистанцию с постоянной скоростью. Какова длина дистанции?</p>
<p>На почтовой марке, посвященной Международному математическому конгрессу 1998 года в Берлине, изображено разбиение прямоугольника на 11 квадратов с целочисленными сторонами.</p>
<p><img src="https://www.diofant.ru/site_media/gallery/marka.jpg" alt="Марка" width="427" height="427" /></p>
<p>Найдите длину стороны наибольшего квадрата, если длина стороны самого маленького квадрата принимает наименьшее целое значение.</p>
<p>В четырехугольнике АВСD:</p>
<p><img src="https://www.diofant.ru/site_media/gallery/4uprl.png" alt="Четырехугольник" width="334" height="429" /></p>
<p>- длина стороны |АВ|=7;<br />- угол А прямой;<br />- угол между диагональю ВD и стороной АВ равен 40˚;<br />- угол между диагональю ВD и стороной ВС равен 130˚;<br />- угол между диагональю ВD и стороной СD равен 5˚.</p>
<p>Найдите площадь четырехугольника.</p>
<p>На внешней биссектрисе угла АВС отмечена точка D так, что она оказалась внутри угла ВАС и угол ВСD=60°. Середина отрезка BD отмечена точкой М. Найдите угол АМС в градусах, если известно, что |CD|=2|AB|, угол АВС=100°.</p>
<p>Укажите необходимое и достаточное условие для целого числа N такого, что для любых многочленов с действительными коэффициентами P(x) и Q(x), для которых P(Q(x)) является многочленом степени N, существует действительное число a, при котором P(a)=Q <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 3673, 'ebody1367336737')">...ещё...</a></p>
<p>1+x<sup>z</sup>+y<sup>z</sup>=НОК(x<sup>z</sup>,y<sup>z</sup>), где x, y и z - натуральные числа, а НОК - наименьшее общее кратное. Найти наибольшее значение произведения xyz.</p>
<p><span>Расположим </span>в порядке возрастания все стозначные числа, у которых сумма цифр равна их произведению. Какое число окажется на 13-м месте? В качестве ответа введите последние четыре младшие цифры найденного числа.</p>
