Султан усомнился в математических способностях некоторых своих придворных мудрецов и посадил 20 из них в одиночные камеры. Каждая камера имела свой номер – от 1 до 20. Султан разрешил каждому из них выйти на свободу, если они обнаружат номер своей камеры среди разложенных у него на столе 20 конвертов, в каждом из которых находился листок с номером от 1 до 20. Мудрецам (каждому из них) разрешалось открыть любые 12 конвертов (то есть, давалось 12 попыток) и достаточно было обнаружить среди них номер своей камеры, чтобы выйти на свободу. После этого мудрец клал все листочки обратно в конверты и порядок конвертов, лежащих на столе не нарушался. И отправлялся либо на свободу, либо обратно в камеру уже до конца своих дней - в зависимости от успеха. А в комнату вызывался следующий мудрец.

Более того, великий султан, проявляя неслыханную доброту и человеколюбие, разрешил мудрецам перед тем, как начать саму процедуру их вызова по одному к столу с лежащими на нём в ряд конвертами, проинструктировать своего адвоката, которому разрешалось прийти предварительно (до вызова мудрецов) в комнату, открыть и посмотреть содержимое всех конвертов и, при желании, поменять местами (единожды) любые два конверта. После этого адвокат покидает комнату и уже не общается больше с мудрецами.

Смогут ли мудрецы придумать какой-нибудь план действий (включая инструкцию адвокату), который позволит им всем гарантированно выйти на свободу и подтвердить султану свою академическую состоятельность?

На трех столах произвольно разложены 2018 монет. Васе предлагают взять с трех столов монеты, лежащие орлом вверх. Разрешается для выгоды перевернуть все монеты с одного из трех столов, можно сразу брать, не переворачивая, если выгодно. Вася стал рассуждать:
1) при переворачивании монет на 1-м столе выигрыш составит 618 монет; 
2) при переворачивании монет на 2-м столе выигрыш составит 800 монет;
3) при переворачивании монет на 3-м столе выигрыш составит 2 раза больше монет, чем если взять не переворачивая.
Соответственно, выбрав третий вариант, Вася получил наибольшее количество монет. Сколько монет взял Вася?

Десять мудрецов должны встать в шеренгу, при этом слева в шеренге должны стоять мудрецы в белых шляпах, а справа в черных. Всего имеется 5 белых и 5 черных шляп. Мудрецы перед испытанием могут договориться о стратегии. Затем они входят по одному в зал, при этом им одевают шляпы так, что они не знают какого они цвета. Общаться они не могут и, войдя в зал, должны сразу стать на свое место - слева или справа. Придумайте верную стратегию.

Троих подозреваемых (1, 2 и 3) спросили, кто из них украл серебряные ложки. Один из них всегда говорит правду, второй всегда говорит правду, кроме случая, когда он в чем-то виноват и ему задают прямой вопрос об его вине, то он уклоняется от прямого ответа, хотя и не врет, а третий - лжец, который в ответ на любой вопрос врет и при этом может как уклоняться или не уклоняться от ответа.

Всем им был задан вопрос "Виновны ли Вы в краже?"
1: Да, это моих рук дело.
2: 1 тут ни при чем.
3: Это сделал 1.
Кто из них на самом деле виновен?

Элементы квадратной матрицы 3 на 3 - различные действительные числа. Произведения трёх элементов каждой строки, каждого столбца и каждой большой диагонали равны одному и тому же натуральному числу. Какое минимально возможное значение этого натурального числа?

На доске 5х5 стоят 25 шашек реверси (с одной стороны белые, с другой - черные) белой стороной вверх. За один ход можно перевернуть любую шашку и все соседние по вертикали и горизонтали. За какое минимальное число ходов можно перевернуть шашки так, чтобы одна шашка была черной стороной вверх?

Из углов параллелограмма проведены линии к серединам сторон. Найти отношение площади парпллелограмма к площади образованного восьмиугольника.

Два автомобилиста отправились из города А в город В одновременно с одинаковой скоростью. 1-ый, соблюдая эту скорость в течении 1/3 от всего времени поездки от А до В, потом увеличил скорость в 3 раза и с этой скоростью прибыл в город В. 2-ой, соблюдая первоначальную скорость в течение 1/3 пути от А до В, потом тоже увеличил скорость и прибыл в город В одновременно с 1-ым. Найти отношение скорости 1-го автомобилиста к скорости 2-го к прибытию в город В.

Поезд длиной 1 км движется с постоянной скоростью 10 км/ч и въезжает в туннель длиной 1 км. За сколько минут поезд проедет туннель?

a+b+c=a⁵+b⁵+c⁵, где a, b, c - разные целые числа, модули которых тоже различны. Найти сумму их модулей IaI+IbI+IcI.